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どんどんりんぺん

どんどんりんぺん、みんな解けたかな!

電車の中や「朝日進学情報」に載っている臨海セミナーの広告、見てくれましたか?
どちらが勝てる確率が高いか、みんなはわかったかな?

問題:
りんペン君とペン子ちゃんは、宝探しゲームをします。下の12個の宝箱のうち、2個に宝が入っており、先に1個でも宝を見つけたほうの勝ちです。りんペン君は青の矢印の順に、ペン子ちゃんは赤の矢印の順に同時に1 個ずつ宝箱を開けていきます。すべての宝箱で、宝が入っている確率が等しいとき、勝つ確率が高いのは二人のうちのどちらでしょう。

どんどんりんぺん問題

正解はこちら!!

1つ目のポイントは、「どの宝箱をどちらが先に開けるか」です。

このルールで二人が宝箱を開けていくとき、どの箱をどちらが先に開けるかは決まっています。

図1で、青の数字が付いている宝箱は、りんペン君が先に開ける宝箱で、数字は何番目に開けるかを示しています。赤の丸囲み数字は、同じくペン子ちゃんが先に開ける宝箱と、その順番です。
ここでは、前者を「りんペン君の宝箱」、後者を「ペン子ちゃんの宝箱」と呼ぶことにします。

どんどんりんぺん解答1

2つ目のポイントは、「どちらの箱に宝があるかによる場合分け」です。

宝は2個ですから、ここで次のような3通りの場合分けができます。
[1]宝が2個ともりんペン君の宝箱にある場合
[2]宝が2個ともペン子ちゃんの宝箱にある場合
[3]宝がりんペン君の宝箱、ペン子ちゃんの宝箱に1個ずつある場合

[1]の場合は必ずりんペン君が勝ち、[2]の場合は必ずペン子ちゃんが勝ちます。
そして、りんペン君の宝箱、ペン子ちゃんの宝箱はどちらも12個中6個ずつですから、[1]と[2]が起こる確率は等しい事が分かります。
したがって、二人のどちらが勝つ確率が高いかは、[3]の場合における勝つ確率によって決まると言えます。

[3]に着目する時、重要になってくるのが、「先に1個でも宝を見つけたほうの勝ち」というルールです。
例えば、2個の宝が、りんペン君の「青1」とペン子ちゃんの「赤②」に入っていた場合、「青1」の方が先に開けられるので、勝つのはりんペン君です。
同様に、宝が「青2」と「赤②」に入っていたとすれば、2つの箱は同時に開けられる事になるので、ゲームは引き分けとなります。
この時の勝敗を表に表したのが、図2です。

どんどんりんぺん解答2

図2から、[3]の場合の勝敗は、りんペン君の「14勝18敗4分け」となる事が分かります。
よって、勝つ確率が高いのは「ペン子ちゃん」となります。

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